Mecânica quântica em espaços métricos

Na mecânica quântica, os estados de sistemas físicos são caracterizados por funções de onda. O conjunto dessas funções de onda forma um daqueles espaços abstratos, chamado de espaço Hilbert. O que o espaço Hilbert tem em comum com a superfície da terra é que nele também podemos quantificar a diferença entre duas funções de onda através de um ângulo (produto escalar) ou através de uma distância (métrica). E da mesma forma como na superfície da terra, o ângulo e a distância trazem informações diferentes e complementares. Portanto, o espaço Hilbert é métrico e unitário. Porém, desde o início da mecânica quântica tem-se focado quase que exclusivamente no produto escalar como uma medida da diferença entre dois estados quânticos e ignorado o fato de o espaço Hilbert também ser métrico. Em um artigo publicado em fevereiro na revista Physical Review Letters o pesquisador da UFABC Klaus Capelle, junto com sua ex-aluna Vivian V. França e mais dois colaboradores da Inglaterra, investiga a pergunta inversa: o que podemos afirmar sobre funções de onda, e sobre o espaço no qual existem, se utilizarmos apenas a distância e não o ângulo como ferramenta de análise?

 

Dois pesquisadores, Alice e Bob, começam a andar em linhas retas em direções diferentes, a partir de um local comum. Como podemos caracterizar o grau de divergência entre os dois caminhos? Uma possibilidade é especificar o ângulo entre as duas linhas retas. Na matemática essa medida é formalizada através da projeção de uma linha sobre a outra, ou, ainda, pelo produto escalar entre os dois vetores apontando nas direções nas quais Alice e Bob andam. Outra possibilidade é especificar a distância entre Alice e Bob, que aumenta à medida em que eles avançam. Na matemática o conceito de distância é formalizado através da métrica do espaço no qual os dois pesquisadores vivem. No caso dos caminhos percorridos por Alice e Bob, este espaço é a superfície da terra, mas os matemáticos definem muitos outros tipos de espaços, alguns dos quais bastante abstratos. Espaços nos quais diferenças entre objetos são medidas em termos de ângulos são chamados de espaços unitários (ou espaços vetoriais com produto escalar), já espaços nos quais tais diferenças são medidas usando distâncias são chamados de espaços métricos.

Na mecânica quântica, os estados de sistemas físicos são caracterizados por funções de onda. O conjunto dessas funções de onda forma um daqueles espaços abstratos, chamado de espaço Hilbert. O que o espaço Hilbert tem em comum com a superfície da terra é que nele também podemos quantificar a diferença entre duas funções de onda através de um ângulo (produto escalar) ou através de uma distância (métrica). E da mesma forma como na superfície da terra, o ângulo e a distância trazem informações diferentes e complementares. Portanto, o espaço Hilbert é métrico e unitário. Porém, desde o início da mecânica quântica tem-se focado quase que exclusivamente no produto escalar como uma medida da diferença entre dois estados quânticos e ignorado o fato de o espaço Hilbert também ser métrico.

Em um artigo publicado em fevereiro na revista Physical Review Letters o pesquisador da UFABC Klaus Capelle, junto com sua ex-aluna Vivian V. França e mais dois colaboradores da Inglaterra, investiga a pergunta inversa: o que podemos afirmar sobre funções de onda, e sobre o espaço no qual existem, se utilizarmos apenas a distância e não o ângulo como ferramenta de análise? Em outras palavras: podemos fazer mecânica quântica em espaços apenas métricos, sem usar os produtos escalares típicos de espaços vetoriais e unitários? Os pesquisadores mostram que de fato pode-se definir uma métrica apropriada, e que em termos dessa métrica o espaço Hilbert se decompõe em esferas concêntricas, nos quais distâncias máximas e mínimas entre funções de onda podem ser obtidas.

Mas afinal, para que serve isso? Além de providenciar uma ferramenta alternativa para a análise de funções de onda que pode ser útil em áreas como a informação quântica ou cálculos Monte Carlo, descobriu-se também uma aplicação no campo de pesquisa que durante anos tem sido a principal área de atuação do prof. Klaus: a teoria do funcional da densidade. Essa teoria é usada para calcular as propriedades físicas de átomos, moléculas e sólidos a partir da densidade de partículas. Porém, densidades não formam um espaço Hilbert. Da mesma forma, se limitarmos as funções de onda apenas às que descrevem estados fundamentais, então essas funções restritas também não formam um espaço Hilbert. Um resultado do novo trabalho é que tanto densidades quanto funções de onda de estados fundamentais formam espaços métricos. Nesses espaços métricos, a teoria do funcional da densidade nada mais é que um mapeamento de vizinhanças em vizinhanças. Voltando ao nosso exemplo de início, se Alice e Bob vivem na mesma rua (são vizinhos) então o gato de Alice e o cachorro de Bob também são vizinhos. O que parece óbvio para gente e bichos é nada trivial para densidades e funções de onda!

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Information content in F(R) brane models with nonconstant curvature, Phys. Rev. D 92, 126005 (2015)


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Charged black holes in expanding Einstein-de Sitter universes, Classical and Quantum Gravity 32, 115004 (2015)


Numerical relativity simulations of neutron star merger remnants using conservative mesh refinement, Phys. Rev. D 91, 124041 (2015)


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Thick Braneworlds and the Gibbons-Kallosh-Linde No-go Theorem in the Gauss-Bonnet Framework, Europhysics Letters 110, 20004 (2015)


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D-oscillons in the standard model extension, Phys. Rev. D 91, 125021 


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Thermal transport in out-of-equilibrium quantum harmonic chainsPhys. Rev. E 91, 042116 (2015)


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Regular Bulk Solutions in Brane-worlds with Inhomogeneous Dust and Generalized Dark Radiation, Adv. High Energy Phys. 2015, 59268 (2015)


Holographic Dark Energy Models and Higher Order Generalizations in Dynamical Chern-Simons Modified Gravity, Eur. Phys. J. C 75, 44 (2015)


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